用回溯法(backtracking algorithm)求解N皇后问题(N-Queens puzzle)

什么是N-皇后问题?

说到这个N-皇后问题，就不得不先提一下这个历史上著名的8皇后问题啦。

八皇后问题，是一个古老而著名的问题.该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法?

那么，我们将8皇后问题推广一下，就可以得到我们的N皇后问题了。N皇后问题是一个经典的问题，在一个NxN的棋盘上放置N个皇后，使其不能互相攻击 (同一行、同一列、同一斜线上的皇后都会自动攻击) 那么问，有多少种摆法？

回溯算法(backtracking algorithm)

N皇后问题其实就是回溯算法中的一个典型应用。为此，在这里先介绍一下回溯算法。

定义(参考至百度百科)

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

基本思想

回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。
而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

什么是深度优先搜索？

深度优先搜索(DFS即Depth First Search)其过程简要来说是对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止，而且每个节点只能访问一次。

解决问题的一般步骤

针对所给问题，定义问题的解空间，它至少包含问题的一个（最优）解。
确定易于搜索的解空间结构,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间。
以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

解空间和解空间树

解空间
一个复杂问题的解决往往由多部分构成，那么，一个大的解决方案就可以看成是由若干个小的决策组成。很多时候它们构成一个决策序列。解决一个问题的所有可能的决策序列构成该问题的解空间。解空间中满足约束条件的决策序列称为可行解。一般说来，解任何问题都有一个目标，在约束条件下使目标值达到最大（或最小）的可行解称为该问题的最优解。在解空间中，前k项决策已经取定的所有决策序列之集，称为k定子解空间。0定子解空间即是该问题的解空间。这个空间必须至少包含一个解（可能是最优的）。
解空间树
因为回溯方法的基本思想是通过搜索解空间来找到问题所要求的解，所以如何组织解空间的结构会直接影响对问题的求解效率。一般地，我们可以用一棵树来描述解空间，并称之为解空间树。

算法框架

针对N叉树的递归回溯方法

//针对N叉树的递归回溯方法  
void backtrack (int t)
{
    if (t>n)
    {
        output(x); //叶子节点，输出结果，x是可行解
    }
    else
    {
        for i = 1 to k//当前节点的所有子节点
        {
            x[t]=value(i); //每个子节点的值赋值给x
            //满足约束条件和限界条件
            if (constraint(t)&&bound(t))
            backtrack(t+1); //递归下一层
        }
    }
}

针对N叉树的迭代回溯方法

//针对N叉树的迭代回溯方法
void iterativeBacktrack ()  
{  
    int t=1;  
    while (t>0)
    {  
        if(ExistSubNode(t)) //当前节点的存在子节点  
        {  
            for i = 1 to k  //遍历当前节点的所有子节点  
            {  
                x[t]=value(i);//每个子节点的值赋值给x  
                if (constraint(t)&&bound(t))//满足约束条件和限界条件   
                {  
                    //solution表示在节点t处得到了一个解  
                    if (solution(t))
                        output(x);//得到问题的一个可行解，输出  
                    else
                        t++;//没有得到解，继续向下搜索  
                }  
            }  
        }  
        else //不存在子节点，返回上一层  
            t--;  
    }  
}

N皇后问题的solve

算法伪代码描述

下面是算法的高级伪码描述，这里用一个N*N的矩阵来存储棋盘：

1) 算法开始, 清空棋盘，当前行设为第一行，当前列设为第一列

2) 在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件(即保证经过这一点的行,列与斜线上都没有两个皇后)，若不满足，跳到第4步

3) 在当前位置上满足条件的情形：

在当前位置放一个皇后，若当前行是最后一行，记录一个解；
若当前行不是最后一行，当前行设为下一行, 当前列设为当前行的第一个待测位置；
若当前行是最后一行，当前列不是最后一列，当前列设为下一列；
若当前行是最后一行，当前列是最后一列，回溯，即清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置。
以上返回到第2步

4) 在当前位置上不满足条件的情形：

若当前列不是最后一列，当前列设为下一列，返回到第2步;
若当前列是最后一列了，回溯，即，若当前行已经是第一行了，算法退出，否则，清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置，返回到第2步;

图解问题过程

为了让大家更好理解，这里画了一张图。

coding time

我们之前说过N皇后问题是回溯算法的经典应用。因此我们可以使用回溯法来解决该问题，具体实现也有两个途径，递归和非递归。

递归法
其实递归法算是比较简单的了。我们使用一个一维数组来存储棋盘。具体细节如下：把棋盘存储为一个一维数组a[N]，数组中第i个元素的值代表第i行的皇后位置。在判断是否冲突时也很简单：

首先每行只有一个皇后，且在数组中只占据一个元素的位置，行冲突就不存在了。
其次是列冲突，判断一下是否有a[i]与当前要放置皇后的列j相等即可。

至于斜线冲突，通过观察可以发现所有在斜线上冲突的皇后的位置都有规律。即它们所在的行列互减的绝对值相等，即| row – i | = | col – a[i] | 。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

const int N=20;   //最多放皇后的个数
int q[N];         //i表示皇后所在的行号，
				  //q[i]表示皇后所在的列号
int cont = 0;     //统计解的个数
//输出一个解
void print(int n)
{
    int i,j;
    cont++;
    printf("第%d个解：",cont);
    for(i=1;i<=n;i++)
        printf("(%d,%d) ",i,q[i]);
    printf("\n");
    for(i=1;i<=n;i++)        //行
    {
        for(j=1;j<=n;j++)    //列
        {
            if(q[i]!=j)
                printf("x ");
            else
                printf("Q ");
        }
        printf("\n");
    }
}
//检验第i行的k列上是否可以摆放皇后
int find(int i,int k)
{
    int j=1;
    while(j<i)  //j=1~i-1是已经放置了皇后的行
    {
        //第j行的皇后是否在k列或(j,q[j])与(i,k)是否在斜线上
        if(q[j]==k || abs(j-i)==abs(q[j]-k))
            return 0;
        j++;
    }
    return 1;
}
//放置皇后到棋盘上
void place(int k,int n)
{
    int j;
    if(k>n)
        print(n); //递归出口
    else
    {
        for(j=1;j<=n;j++)   //试探第k行的每一个列
        {
            if(find(k,j))
            {
                q[k] = j;   //保存位置
                place(k+1,n);  //接着下一行
            }
        }
    }
}
int main1111(void)
{
    int n;
    printf("请输入皇后的个数(n<=20),n=:");
    scanf("%d",&n);
    if(n>20)
        printf("n值太大，不能求解!\n");
    else
    {
        printf("%d皇后问题求解如下(每列的皇后所在的行数):\n",n);
        place(1,n);        //问题从最初状态解起
        printf("\n");
    }
    system("pause");
    return 0;
}

迭代法
为什么还要迭代呢？因为递归效率有时候并不是那么的高。具体思路：首先对N行中的每一行进行探测，查找该行中可以放皇后的位置。具体怎么做呢？
- 首先对该行的逐列进行探测，看是否可以放置皇后，如果可以，则在该列放置一个皇后，然后继续探测下一行的皇后位置。
- 如果已经探测完所有的列都没有找到可以放置皇后的列，这时候就应该回溯了，把上一行皇后的位置往后移一列。
- 如果上一行皇后移动后也找不到位置，则继续回溯直至某一行找到皇后的位置或回溯到第一行，如果第一行皇后也无法找到可以放置皇后的位置，则说明已经找到所有的解，程序终止。
- 如果该行已经是最后一行，则探测完该行后，如果找到放置皇后的位置，则说明找到一个结果，打印出来。
- 但是此时并不能在此处结束程序，因为我们要找的是所有N皇后问题所有的解，此时应该清除该行的皇后，从当前放置皇后列数的下一列继续探测。

由此可见，非递归方法的一个重要问题时何时回溯及如何回溯的问题。

具体代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#define QUEEN 8     //皇后的数目
#define INITIAL -10000 //棋盘的初始值

int a[QUEEN];    //一维数组表示棋盘

void init()  //对棋盘进行初始化
{
    int *p;
    for (p = a; p < a + QUEEN; ++p)
    {
        *p = INITIAL;
    }
}

int valid(int row, int col)    //判断第row行第col列是否可以放置皇后
{
    int i;
    for (i = 0; i < QUEEN; ++i)  //对棋盘进行扫描
    {   //判断列冲突与斜线上的冲突
        if (a[i] == col || abs(i - row) == abs(a[i] - col))
            return 0;
    }
    return 1;
}

void print()    //打印输出N皇后的一组解
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < QUEEN; ++i)
    {
        for (j = 0; j < QUEEN; ++j)
        {
            if (a[i] != j)      //a[i]为初始值
                printf("%c ", '.');
            else                //a[i]表示在第i行的第a[i]列可以放置皇后
                printf("%c ", '#');
        }
        printf("\n");
    }
    for (i = 0; i < QUEEN; ++i)
        printf("%d ", a[i]);
    printf("\n");
    printf("--------------------------------\n");
}

void queen()      //N皇后程序
{
    int n = 0;
    int i = 0, j = 0;
    while (i < QUEEN)
    {
        while (j < QUEEN)        //对i行的每一列进行探测，看是否可以放置皇后
        {
            if(valid(i, j))      //该位置可以放置皇后
            {
                a[i] = j;        //第i行放置皇后
                j = 0;           //第i行放置皇后以后，需要继续探测下一行的皇后位置，
                                 //所以此处将j清零，从下一行的第0列开始逐列探测
                break;
            }
            else
            {
                ++j;             //继续探测下一列
            }
        }
        if(a[i] == INITIAL)         //第i行没有找到可以放置皇后的位置
        {
            if (i == 0)             //回溯到第一行，仍然无法找到可以放置皇后的位置，
                                    //则说明已经找到所有的解，程序终止
                break;
            else                    //没有找到可以放置皇后的列，此时就应该回溯
            {
                --i;
                j = a[i] + 1;        //把上一行皇后的位置往后移一列
                a[i] = INITIAL;      //把上一行皇后的位置清除，重新探测
                continue;
            }
        }
        if (i == QUEEN - 1)          //最后一行找到了一个皇后位置，
									 //说明找到一个结果，打印出来
        {
            printf("answer %d : \n", ++n);
            print();
            //不能在此处结束程序，因为我们要找的是N皇后问题的所有解，
			//此时应该清除该行的皇后，从当前放置皇后列数的下一列继续探测。
            j = a[i] + 1;             //从最后一行放置皇后列数的下一列继续探测
            a[i] = INITIAL;           //清除最后一行的皇后位置
            continue;
        }
        ++i;              //继续探测下一行的皇后位置
    }
}

int main(void)
{
    init();
    queen();
    system("pause");
    return 0;
}

注：资料整合自网络。

================================END==================================